TIPOS DE SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
Ya conocemos el conjunto de números naturales.Sabemos qué es un conjunto infinito, es decir, sabemosque los números naturales no se termina nunca.Pero no podemos utilizar un signo distinto para representar cada número natural , no es posible recordarlos todos.Si tuviésemos que utilizar un signo distinto para cada número natural, apenas podríamos contar hasta cincuenta o sesenta y aún nos equivocariamos muchas veces.Son por tanto necesarias una serie de reglas para que , con pocos signos , se pueda representar cualquier número natural.Todas sus reglas forman lo que llamamos Sistema de Numeración .
Existen varios sistemas de numeración , entre ellos vamos a destacar el sistema de numeración décimal por ser el más importante para nosotros ya que lo utilizaremos como mayor frecuencia. Más adelante estudiaremos otros sistemas de numeración(binario, hexadecimal y octal)Los sistemas de numeración actuales que utilizamos son sistemas posicionales antes nombrados, que se caracterizan por que un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.Los sistemas de numeración que vamos a definir son los siguientes:
- Sistema de numeración décimal
- Sistema de numeración binario
- Sistema de numeración Hexadecimal
- Sistema de numeración octal
SISTEMA DE NUMERACIÓN DÉCIMAL
El sistema decimal o sistema en la base 10, es el más empleado en todo el mundo y emplea diez dígitos, desde el 0 al 9. Número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.Este sistema de numeración se llama también de base 10, porque son diez los signosque utiliza para escribir todos los números naturales:0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.
Por esta razon el sistema de numeración décimal se cuenta de diez en diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
Fue introducido en España por los árabes aunque procede de India .Cada orden de unidad equivale a diez del orden anterior.El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
- En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 52
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal.
- Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Para representar números mayores que nueve, utilizamos grupos formados por varias cifras ordenadas. La posición de cada cifra, a medida que nos trasladamos de derecha a izquierda, nos indicará las unidades, decenas, centenas, etc. Por estas razones se llama a este sistema posicional.Los números de un sola cifra son unidades.En los números de dos cifras , la última indica unidades y la primera las decenas.De la misma forma que diez unidades forman una decena , también diez decenas forman una unidad de tercer orden.
- Entonces , en los números de tres cifras;la última indica las unidades , la segunda , las decenas ; y la primera , las centanas.De esta manera:347=3 centenas + 4 decenas + 7 unidades
El valor absoluto y el valor relativo de un número Según hemos visto en el sistema de numeración décimal , el lugar que ocupa una cifra de un número es fundamental .Así , es el número 584, el cuatro representa 4 unidades: mientras que en el número 3458 , el cuatro representa 4 centenas , es decir , 400 unidades .Por lo tanto , el valor de una cifra no depende sólo del signo que la representa sino también del lugar que ocupa , puesto que , como vemos en estos dos ejemplos , en un caso el 4 significa 4 unidades , y en el otro 4 centenas .Tendremos que distinguir pues , entre:Valor absoluto de una cifra , que es el que tiene por su figura y el valor relativo que es el que depende del lugar que ocupa.Por consiguiente , el valor absoluto de una cifra depende exclusivamente del signo que la representa El valor relativo de una cifra es el que depende del lugar qué ocupa.
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
El sistema de numeración binaria o sistema de base 2 emplea solo dos dígitos (el 0 y el 1). Cada unidad equivale a dos unidades del orden anterior:La importancia del sistema binario estriba en la facilidad para codificar los dos símbolos distintos que emplea , el 0 y el 1 , a nivel eléctrico o electrónico , mediante contactos abiertos o cerrados (no pasan/ pasan electrones) o como ausencia/presencia de tensión eléctrica
En el interior de los ordenadores, en los procesadores y en los dispositivos de almacenamiento. Se aprovecha la codificación electrónica des sistema binario y se maneja o almacena exclusivamente información de formato digital; por sus circuitos o no circulan electrones. Cada digito del sistema binario así codificando se denomina bit.
CONVERSIÓN DE NÚMEROS DECIMALES A BINARIOS
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Conversión de decimal a binario
Existen dos maneras de convenir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits.
Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:
- Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
- Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado).
- Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
- Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.
EJERCICIOS:
- Por ejemplo: La conversión de números en base decimal a base binaria puede realizarse ordenando los restos y el último cociente de las sucesivas divisiones enteras de número entre 2
- Ejercicio 1:
Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276
El tamaño de las cifras binarias;La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.
Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.
- Ejercicio 2:
Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.
- Ejercicio 3:
Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
CONVERSIÓN DE UN NÚMERO EN CUALQUIER BASE A BASE DECIMAL
Para convertir cualquier número, expresando en cualquier base, a la base decimal es preciso descomponer dicho número en términos o sumandos, en función de sus cifras y de su base de numeración.Como sabemos, los números en base decimal pueden componerse en unidades, unidades de segundo orden a decenas. Unidades der tercer orden o centenas, etc. Cada unidad es diez veces mayor que la orden anterior
CONVERSION DE BINARIO A DECIMAL
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
- 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310 - Ejercicio 4:
Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.En el Sistema de Numeración Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc. La cuenta hecha en octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, .....Se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9Para pasar de un Sistema Binario al Sistema Octal se utiliza el siguiente método:
- Se divide el número binario en grupos de 3 empezando por la derecha. Si al final queda un grupo de 2 o 1 dígitos, se completa el grupo de 3 con ceros (0) al lado izquierdo.
- Se convierte cada grupo en su equivalente en el Sistema octal y se reemplaza.
El sistema numérico octal
- Se utiliza como base el 8 que corresponde al número de dígitos que se utilizan para representar cantidades
- Al igual que los sistemas de numeración decimal y binario, este es un sistema posicional, por lo cual en el sistema octal todos los procedimientos son similares a los que utilizamos con el sistema binario.
- El valor de posición en este sistema se consigue multiplicando el digito por una potencia de 8
Ejemplo: Pasar 101101112 a octal.
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
- 122: 8 = 15 Resto: 2
- 15: 8 = 1 Resto: 7
- 1: 8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
Ejercicio 5:
Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310, 51310, 11910
CONVERSIÓN OCTAL A DECIMAL
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
- 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
- 2378 = 1591
Ejercicio 6:
Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458, 1258, 6258
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963.El sistema numérico es base 16 , esto significa que tiene 16 símbolos únicos para representar datos :los números del 0 al 9 y las letras de la A a la Este sistema es útil porque puede representar cada byte(8 bits)con dos dígitos hexadecimales consecutivos. Esto permite a las personas leer números hexadecimales más fácilmente que los binarios. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia .
El sistema hexadecimal tiene las siguientes características:
- A partir del número 9 se utiliza las letras A ,B,C,D,E,F
- Como el único factor de 16 es 2 , todas las fracciones que no tengan potencia 2 , tendrán un desarrollo hexadecimal periódico
Calculamos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
- 1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
- 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
- 1A3F16 = 671910
Ejercicio 7:
Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:
- 1735 : 16 = 108 Resto: 7
- 108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210
- 6 : 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
173510 = 6C716
Ejercicio 8:
Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510
CONVERSIÓN DE NÚMEROS BINARIOS A OCTALES
Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
- Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
- 1012 = 58
- 0012 = 18
- 0112 = 38
- y, de ese modo: 1010010112 = 5138
Ejercicio 9:
Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:
- 78 = 1112
- 58 = 1012
- 08 = 0002
- y, por tanto: 7508 = 1111010002
Ejercicio 10:
Convierte los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538
CONVERSIÓN DE NUMEROS BINARIOS A HEXADECIMALES
Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios.
- Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:
- 10102 = A16
- 01112 = 716
- 00112 = 316
- y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16
Ejercicio 11:
Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112
La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla.
Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:
- 116 = 00012
- F16 = 11112
- 616 = 01102
- y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
BASE DE UN SITEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL
VALOR DE UNA CIFRA
