Teorema de la numeración

TEOREMA
DE LA
NUMERACIÓN



El Teorema Fundamental de la Numeración (TFN) establece que en cualquier sistema de numeración posicional todos los números pueden expresarse mediante la siguiente suma de productos:


Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración posicional con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

El teorema fundamental de la numeración dice:

“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración''.

Viene dado por la fórmula:

• "... X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”
• donde X es el dígito y B la base.

Ejemplo

1. Supongamos la cantidad 3221,034 esta expresada en base 4 (ver subíndice al final de la cantidad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?
2. 3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 1 * 40 + 0 * 4-1 + 3 * 4-2 =
   3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 + 0 * 0,25 + 3 * 0,0645 = 233,1875
3. El teorema aplicado a la inversa nos sirve para obtener el valor en una base cualquiera de un valor decimal, por medio de divisiones sucesivas por dicha base, como se verá más adelante.

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicnúmero válido en el sistema de numeración.

• N:Número válido en el sistema de numeración
• b:base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
• d:un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
• n:Número de dígitos de la parte entera.
• K:Número de dígitos de la parte decimal.

La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

• Ejemplo en el sistema decimal

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez.En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

• Ejemplo de sistema binario

Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.